中学2年生の数学で、多くの生徒さんが苦手にするのが「図形の証明」です。三角形の合同や平行四辺形の性質を使った証明は、やり方のコツをつかめば着実に力がついていきます。
ここでは、証明問題を解けるようになるための勉強の進め方を解説します。
仮定と結論を正しくつかむ
証明問題でまず大切なのは、「何が分かっていて（仮定）、何を示すのか（結論）」をはっきりさせることです。
問題文を読んだら、次のことを整理してみましょう。
- 仮定…問題文で「〜とする」「〜である」と書かれていること
- 結論…「〜を証明せよ」と聞かれていること
たとえば「AB＝AC、BD＝CDのとき、△ABD≡△ACDを証明せよ」という問題なら、仮定は「AB＝AC、BD＝CD」、結論は「△ABD≡△ACD」です。
仮定と結論が整理できていないと、証明の方向が分からなくなってしまいます。問題を読んだら、まず仮定と結論に線を引く習慣をつけましょう。
仮定と結論の詳しい考え方と練習問題はこちら
合同条件と図形の性質を覚える
証明を書くためには、使う道具をしっかり頭に入れておく必要があります。
三角形の合同条件（3つ）
- 3組の辺がそれぞれ等しい
- 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
直角三角形の合同条件
- 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
- 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
二等辺三角形の性質
- 2つの底角は等しい
- 頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する
平行四辺形の性質
- 2組の対辺がそれぞれ等しい
- 2組の対角がそれぞれ等しい
- 対角線がそれぞれの中点で交わる
これらは丸暗記するだけでなく、図を描きながら「なぜそうなるのか」を理解しておくと、証明で使いこなせるようになります。
証明の書き方は、まず例題を真似する
証明が書けない原因のひとつに、「どう書き始めていいか分からない」ということがあります。
最初は教科書や参考書の例題の書き方をそのまま真似してみましょう。穴埋め形式の問題も出ますが、穴だけ埋めるのではなく、必ず自分で全体を書いてみることが大切です。手を動かして全文を書く練習をすることで、証明の「型」が身についていきます。
証明には決まった流れがあります。
- 仮定を書く（〜において、〜だから）
- 等しいところを1つずつ示す
- 合同条件をあてはめる
- 結論を書く
この流れを意識して書く練習を繰り返しましょう。
三角形の合同の練習問題はこちら
図に書き込んで見通しを立てる
証明で使う「等しい辺」や「等しい角」は、問題の図に書き込んでいくと見つけやすくなります。
- 等しい辺には同じ印をつける
- 等しい角には同じ印をつける
- 共通な辺や角も忘れずに印をつける
図に印をつけていくと、「あと何が分かれば合同条件が使えるか」が目で見えるようになります。証明が得意な生徒さんほど、図に丁寧に書き込んでから解き始めています。
難しい問題は「同じところ探し」を徹底する
証明問題が複雑になると、何を使えばいいか迷うこともあります。そんなときは、図をよく見て等しくなるところをとにかく探してみましょう。
- 仮定から直接分かるもの
- 共通な辺や角
- 図形の性質から分かるもの（対頂角、平行線の錯角・同位角など）
- 他の三角形の合同から導けるもの
等しいものを図にどんどん書き込んでいくうちに、使える合同条件が見えてきます。
平行四辺形の証明では、上に挙げた性質を活用して等しい辺や角を見つけていきます。「平行四辺形だから対辺が等しい」「対角線の交点だから等分される」といった性質をすぐに使えるようにしておきましょう。
いろいろな問題を解いて得意にしていく
証明は数をこなすことで確実に力がつきます。最初は教科書の基本問題から始めて、慣れてきたら少しずつ応用問題に進みましょう。
間違えた問題は、解答の書き方をよく読んで、自分の書き方と比べてみてください。「ここの理由が抜けていた」「この性質を使うのか」と分かったら、もう一度自分で最初から書き直してみるこ
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